文字板に何も印がない時計が傾いていたときに，傾いているかどうか判断で
きるか否かという問題．解答をピックアップして頂きありがとうございまし
た．
というわけで勝手に雑感を述べてみる．
結城さんの模範解答は，ボトムアップというか，一切想像をはたらかせるこ
となく数学的に納得することができる．その代わり，要するにその裏で何が
起きているのか，何がミソなのかは，読んだだけではたぶん分からない．
(分かる人は相当鋭い)
その他の紹介されている解答は，私のものも含めて，トップダウンと言って
よいと思う．その代わり想像というか常識的直感に頼る部分があって，読者
によっては「それって本当?」という疑問が残る場合がある．(実際私も，解
答を送りながら，これって本当に合ってんのかな，何か勘違いしてるんじゃ
ないのかなと心配だった)
私の解答 (「かがみさんの解答」というやつ) に対する結城さんのコメント
に，「いささか間抜けな質問メール」というのが出て来るが，間抜けどころ
ではなく，ここの弱さをついた鋭いものだった．つまり，
短針・長針の回転速度は変わらない ⇒ (a) あるひとつの時刻で傾いている
かどうかが判断できない場合，その置き方をしている限りは他のいずれの時
刻でも判断できない
というのは自明としてよいのか，ちゃんと証明できるか，という指摘であっ
た．
自明だと思ったのであの解答をお送りしたわけだが，これを手抜きせずに
ちゃんと証明するのは意外と面倒くさい．結局，結城さんの解答と本質的に
同等なことをやる必要があった (もっとも私が結城さんにメールで送った証
明(*)は，もっと廻りくどくて美しくないものでしたが＿|￣|◯．「丁寧に
答えてくださいました」とありますが，とんでもない，冗長なだけです)．
つまるところ何なのかというと，直感的に分かりやすいというのと，記述が
正確であるというのを，冗長にならずに両立するのはなかなか難しい，とい
うことなんだと思う．これってこういう数学系のネタに限らず，ものを書く
こと，話すことなど，広くプレゼンテーションと呼べるもの全般に当てはま
る．
もっとも，これらを非冗長に両立させることが常に必要とは限らないんだけ
ど．冗長であることが功を奏す場合もあるし，正確さを切捨てた方がよい場
合もある．分かりやすさを切捨てて得な場合は…あるかな? ちょっとよく分
からないな．大したことやってないのをバレないようにするためとかだろう
か(ぉ．
(*) その証明を晒してみる．あー，センスねーなという感じ．変数として角
度だけじゃなくて時間 t を媒介させているから，必要以上にややこしくなっ
ている．
[定義1] ある時刻 t における正しい時計の短針・長針の角度 (θ_h, θ_m)
[°] は，以下で与えられる．ただし t は 0 時 0 分を t = 0 とし，分単
位で表す(例: 1時15分は t = 75)．mod は モジュロ演算子を表す．
(θ_h, θ_m) = (t/2 mod 360, 6t mod 360)
[定義2] 時計の短針・長針は，τ分間にそれぞれ τ/2 [°]，6τ[°] 回転
する．
[定義3] ある時計の針の角度 (θ_h, θ_m) に対して，時計が傾いているか
否かは，(θ_h, θ_m) = (t/2 mod 360, 6t mod 360) を満たすような t
が存在するとき，判断できないという．同式があらゆる t に対して成り立
たないとき，判断できるという．
[補題] ((x mod a) + y) mod a = (x + y) mod a
[証明] (ほぼ自明ですが念のため)
左辺 = (x - [x / a]a + y) mod a = (x + y) mod a
(ただし [x] は x を超えない最大の整数) を得る．証明終．
[定理] ある角度で傾いて置かれた時計をある時点で見て，傾いているかど
うか判断できない場合，その置き方をしている限りは他のいずれの時点でも
判断できない．
[証明] その判断できない時点において，定義3 より，その時計が指してい
るように見える時刻 s が存在し，このとき針は
(s/2 mod 360, 6s mod 360)
を指している．その時点のτ分後 (τは実数であり，負でもよい)，時計の
針は定義2 より
(((s/2 mod 360) + τ/2) mod 360, ((6s mod 360) + 6τ) mod 360)
を指す．補題よりこれは
((s + τ)/2 mod 360, 6(s + τ) mod 360)
に等しい．このとき定義3 における等式が t = s + τ に対して成り立つの
で，傾いているか否かは判断できない．これが任意のτについて言える．証
明終．
